第五百六十二章 整數分拆
遊走在晚清的亂世理工男 作者：三秋空城 投票推薦 加入書簽 留言反饋
二十世紀初，印度作為英國最大也是最重視的殖民地，每年英國都會招收一批英國留學生。
比如劍橋大學每年約招收20名印度學生，在英國差不多有1000多個印度學生散於各個學院。
這些人大部分是高種姓，最起碼也是吠舍（第三種姓）。
婆羅門在印度是最高的種姓，主要是神職人員，差不多占5%左右的人口。
第二種姓刹帝利最少，隻有3%左右，這些人的生活條件才是真的優渥。
學生中還有相當一部分來自第三種姓吠舍，——甘地也是吠舍。
拉馬努金雖然是婆羅門這個最高種姓，不過他家沒多少錢，至少是沒錢留學。
去年哈代收到拉馬努金的信後，很希望把拉馬努金搞到劍橋，於是給印度的官員寫信，同時轉達了拉馬努金的信。
結果印度負責留學生事務的文官看後很不高興，給哈代迴信說：“最近的來信讓我很吃驚，看來諸位在拉馬努金赴英費用來源尚無確實把握前就鼓勵拉馬努金成行。我見過太過這樣的情況，印度學生來到英國以後沒有足夠的錢，得到的隻有失望與不幸。”
後來哈代都準備自己與李特爾伍德湊錢了，但他們兩個搞純數學也拿不出多少，至多每年50英鎊，對於留學來說遠遠不夠。好在拉馬努金最後總算爭取到了一個獎學金項目。
印度和中國還是不一樣的，中國人太重視教育了，早在晚清時期就極力推動留學，而且相當一部分都是公費留學。
但印度是個無主權國家，自己能決定的事情太少，仰仗殖民者施舍。
劍橋裏的印度學生很容易辨認，李諭甚至感受到了種姓製度對印度人巨大的製約。
在餐廳時，李諭多留意了一下，發現印度學生本來就不多，也基本不紮堆，或者說是紮小堆，——按照種姓聚集。
還要說明的是，其實每個種姓又細分了好多小種姓，簡直把印度社會生生分裂了開。
同一個大種姓裏，大家可以坐在一起吃飯，但跨越了種姓，基本上很少會這樣。
對於李諭這種穿越者來說，非常難以理解，更何況自己還是來自中國，應該是唯一一個最純粹幹掉了所謂貴族階層的國度。
以前有中國商人去印度做生意，午餐時，中國商人把印度司機叫上了餐桌，結果其他印度人都傻了。
那個司機感激涕零，說這是第一次和如此尊貴的人坐在一起吃飯。
因為在印度看來，外國人基本屬於高種姓。
而真正的印度高種姓，甚至不屑於與低種姓共用自來水管。
李諭坐在了拉馬努金對麵，看到他吃的素食非常簡單，麵包、扁豆和一杯牛奶。
“這樣吃會不會容易饑餓？”李諭問道。
拉馬努金並沒有迴答李諭的問題，反而四處張望了一下，詫異道：“中國人也愛聊天？”
李諭被問得莫名其妙：“這有什麽好疑惑的？”
拉馬努金說：“來到國外後，我發現這裏的人全都保持矜持或者冷漠，到了令人惱怒的地步，常常拒人於千裏之外，我們每個印度學生都難以接受。”
“或許是文化不同導致，英國人要保持自己所謂的紳士風度。當然，不排除有一些是高高在上的民族偏見，”李諭說，然後問了一個心中疑惑已久的問題，“哈代先生說，你的公式都是夢中女神告訴你的，那是個怎樣的女神？”
拉馬努金說：“是我的信仰，娜瑪吉利女神。”
李諭壓根沒聽過這個女神的名字，對婆羅門教或者說印度教的理解，就是梵天、濕婆和毗濕奴這三位主神。
最多加一個傳說中孫悟空的原型——印度猴神哈奴曼。（也不知道這個說法可不可靠，不少自媒體這麽說過。畢竟大聖不缺流量。）
李諭問道：“這位娜瑪吉利女神是？”
拉馬努金說：“她是那羅希摩的配偶，那羅希摩也叫獅神，是毗濕奴的化身之一。”
總算提到一個自己聽過的神。
李諭說：“感覺與中國的道教很像，都有好多神仙。”
拉馬努金語出驚人：“對於我來說，所有的宗教或多或少都一樣是真的，不管基督教還是佛教。”
李諭非常錯愕，更加無法理解印度的宗教觀。
拉馬努金又問道：“院士先生也有信仰嘛？”
李諭搖搖頭：“我是無神論者。”
拉馬努金說：“太可惜了，如果你也有信仰，說不定會獲得神的指示。”
李諭笑道：“可能我已經不需要了。”
拉馬努金說：“娜瑪吉利女神給予了我無窮幫助，本來按照教義，我不能離開印度，但女神托夢告訴我可以離開，所以我才登上了前往倫敦的輪船。”
李諭沒敢多問，這時候印度人確實不能隨便離開印度國土，除非有某種理由。
甘地就是因為離開印度，被開除了種姓。
但婆羅門本身就是神職人員，可以解釋宗教，所以……
李諭笑道：“上天安排的最大，女神也要你來倫敦。”
拉馬努金說：“但我的家人朋友並不同意，嶽父就問過我，為什麽不能在印度學數學。我和他解釋了半天，他始終無法理解。我朋友也認為這是把本屬於印度的光榮偷送給英國大學的一種卑鄙手腕。而我的母親則擔心我適應不了英國的天氣，擔心這邊沒有好的印度食品，還害怕英國人的歧視，甚至擔心我被英國女孩子纏住，不再迴國。”
李諭看過《生活大爆炸》，知道印度人的婚戀觀非常傳統，在矽穀混得風生水起的人，也得迴國結婚，而且必須報上種姓，如果是低種姓，哪怕你在矽穀再牛，也得蹲著。
在拉馬努金離開印度之前，有些英國婦女來見這位即將去劍橋的神秘天才，和他握了手，就使他的母親大為生氣。
李諭攤攤手：“既然來了，就先搞好你想做的唄。”
拉馬努金說：“我就是這樣想的，院士先生的事跡非常令我振奮。”
李諭笑道：“彼此彼此。”
拉馬努金幾口吃完了飯，說：“是的，我們去找哈代先生，今天要討論一個關鍵的議題。”
李諭又問道：“真的隻吃這麽點？”
拉馬努金說：“母親的擔心不無道理，英國的食材太缺少了。”
拉馬努金對食物很挑剔。
和平年代還好，半年後一戰爆發，英國物資供應出現短缺，麵包都要限量供應，哪去找更多蔬菜。
拉馬努金那時正好是科研攻堅期，吃飯很隨意，休息更隨意，這種狀態最容易生病。
關鍵拉馬努金在醫院裏也不聽話，老抱怨這裏疼那裏痛，甚至有些任性，不相信醫藥。
許多倫敦的醫生都說：“極少有醫生願意把拉馬努金帶到自己的醫務所，沒人能受得了他的脾氣。”
總之是各種因素導致了他的生病。
後世要是秉承素食主義其實影響不大，但二十世紀初這種醫學剛剛起步的時代，素食還是有些風險的。
拉馬努金的早逝很可能就是免疫力下降，染上了肺結核。
之前提到過，全球三分之一的人口感染有肺結核，但人體的免疫力讓90%的人不會發病，但一旦免疫力大幅下降，就有危險。
一些微量元素素食難以提供或者提供的數量很少，比如維生素d。或許就是它的缺少導致拉馬努金感染上肺結核。
可惜維生素的作用還要幾年後才能被慢慢證實。
另外，英國和印度的生活相比，至少還缺少一樣東西——陽光。
陽光可以幫助人體合成維生素d。但英國的天氣，能曬太陽的機會太少，加上他常年在屋中搞研究，日積月累，身體早晚垮掉。
路上時，拉馬努金又好奇問道：“院士先生同樣來自東方，離開了故土，你不會想念家鄉嗎？”
李諭說：“事實上，我經常迴國。”
“太羨慕了！”拉馬努金說，“才離開印度幾個月，我已非常想念家鄉。那裏的街道上處處是牛車，彩繪的牛角上鈴聲叮當，男人裸著上身，包著圍腰布，女人穿著莎麗，鼻環和手鐲在黝黑的皮膚上閃亮。”
聽拉馬努金的敘述，他好像生活在鄉村。
這位天才在英國的幾年生活相當孤獨，朋友極少，隻能與數學為伴。
李諭說：“我能理解你的心情。”
兩人走進哈代的辦公室，他正在一張小黑板上寫寫畫畫，見拉馬努金來了，於是說：
“我已經想好，如果你想讓整個英國數學界知道你的名字，可以選擇整數分拆這個課題。旁邊辦公室專門做組合數學的麥克馬洪教授已經為此花了十幾年，還沒有摸出頭緒，但你的公式卻有完美的近似效果。我們花上一段時間，給出更專業的數學證明，他絕對會驚掉下巴。”
拉馬努金說：“要是能發表論文，我一定配合先生的工作。”
哈代抽了口煙鬥說：“我知道你有很多東西想發表，但我們必須一點點來，做出取舍。整數分拆這種難度極大的成果做出來後，我說不定還可以幫你申請到研究員的職位，那樣我們的時間就更多了。”
拉馬努金說：“我明白了，謝謝哈代教授。”
兩人搞的整數分拆屬於數論領域，非常好理解，小學生都可以看懂。
所謂整數分拆，就是把一個正整數表示成幾種不同的加法組合。
比如數字3，有3，1+1+1，1+2三種組合方式。
數字4，有1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2，4，一共五種拆分方式。
然後假設有一個函數p（n），表示的就是某個數字n一共有多少種拆分方式。
顯然，
p（3）=3
p（4）=5
拉馬努金和哈代要搞的，就是找到這個整數分拆函數p（n）表達式。
聽起來是不是感覺和費馬大定理、哥德巴赫猜想一樣簡單好理解？
但想要得到函數p（n），就相當難了。
因為這個函數的發散速度非常恐怖，別看前幾項很小，人畜無害，到了p（50），就達到了204226。
而p（100），大概是2億！
明顯的指數增長。
最早研究整數分拆的是數學真神歐拉，但他沒能搞定。
拉馬努金不知道咋就寫出了一個p（n）近似公式，關鍵這玩意在n越大的時候，就越準，很難說是隨便湊出來的。
李特爾伍德把一大堆材料放在桌子上：“這是麥克馬洪教授的推算結果，我們可以慢慢進行驗證。”
然後他又對拉馬努金說：“我真的很想知道你是如何得到這個詭異結果的，但我知道你肯定會說是女神的指示，就像法國的聖女貞德說，‘我把自己鎖在小閣樓裏一天一夜，上帝告訴我，我要成為天國的將軍，率領法國軍隊趕走英國人’。”
哈代道：“這就是神秘的東方力量。”
“確實太神秘了，”李特爾伍德說，“按照通常的數學邏輯，一旦我們事先知道結果，可以花費時間慢慢找到函數的正確形式。但關鍵是，拉馬努金怎麽知道一定會有一個正確形式？甚至給出了一個很不錯的公式！如果以理論洞察力來解釋，其能力之高實難相信！因為對於整數分拆函數來說，沒有什麽數值結果能向他暗示如此強有力的結論。我隻能說是神來之筆。”
哈代哈哈大笑：“我已經放棄思考這個問題了！不如繼續驗證下去。”
整數分拆函數的發散非常快，而麥克馬洪教授此前已經通過歐拉的早期工作，硬生生手工算出了前200個p（n）值。
毅力也是夠強的。
拉馬努金和哈代首先要做的就是驗證拉馬努金給出的公式的準確程度，正好把麥克馬洪的數據拿來用。
結果相當振奮人心，近似程度很好。
可憐的麥克馬洪，簡直被降維打擊。
打個比方，之前他是通過1000001個29相加來計算29+29+29+…，得到了結果29000029。
現在拉馬努金和哈代直接乘法去計算29x1000001。
不過具體的過程肯定比較複雜，用到了大量近代數學成果。
數論這東西有些人覺得很枯燥，但喜歡的人是真喜歡，愛到骨子裏。
比如劍橋大學每年約招收20名印度學生，在英國差不多有1000多個印度學生散於各個學院。
這些人大部分是高種姓，最起碼也是吠舍（第三種姓）。
婆羅門在印度是最高的種姓，主要是神職人員，差不多占5%左右的人口。
第二種姓刹帝利最少，隻有3%左右，這些人的生活條件才是真的優渥。
學生中還有相當一部分來自第三種姓吠舍，——甘地也是吠舍。
拉馬努金雖然是婆羅門這個最高種姓，不過他家沒多少錢，至少是沒錢留學。
去年哈代收到拉馬努金的信後，很希望把拉馬努金搞到劍橋，於是給印度的官員寫信，同時轉達了拉馬努金的信。
結果印度負責留學生事務的文官看後很不高興，給哈代迴信說：“最近的來信讓我很吃驚，看來諸位在拉馬努金赴英費用來源尚無確實把握前就鼓勵拉馬努金成行。我見過太過這樣的情況，印度學生來到英國以後沒有足夠的錢，得到的隻有失望與不幸。”
後來哈代都準備自己與李特爾伍德湊錢了，但他們兩個搞純數學也拿不出多少，至多每年50英鎊，對於留學來說遠遠不夠。好在拉馬努金最後總算爭取到了一個獎學金項目。
印度和中國還是不一樣的，中國人太重視教育了，早在晚清時期就極力推動留學，而且相當一部分都是公費留學。
但印度是個無主權國家，自己能決定的事情太少，仰仗殖民者施舍。
劍橋裏的印度學生很容易辨認，李諭甚至感受到了種姓製度對印度人巨大的製約。
在餐廳時，李諭多留意了一下，發現印度學生本來就不多，也基本不紮堆，或者說是紮小堆，——按照種姓聚集。
還要說明的是，其實每個種姓又細分了好多小種姓，簡直把印度社會生生分裂了開。
同一個大種姓裏，大家可以坐在一起吃飯，但跨越了種姓，基本上很少會這樣。
對於李諭這種穿越者來說，非常難以理解，更何況自己還是來自中國，應該是唯一一個最純粹幹掉了所謂貴族階層的國度。
以前有中國商人去印度做生意，午餐時，中國商人把印度司機叫上了餐桌，結果其他印度人都傻了。
那個司機感激涕零，說這是第一次和如此尊貴的人坐在一起吃飯。
因為在印度看來，外國人基本屬於高種姓。
而真正的印度高種姓，甚至不屑於與低種姓共用自來水管。
李諭坐在了拉馬努金對麵，看到他吃的素食非常簡單，麵包、扁豆和一杯牛奶。
“這樣吃會不會容易饑餓？”李諭問道。
拉馬努金並沒有迴答李諭的問題，反而四處張望了一下，詫異道：“中國人也愛聊天？”
李諭被問得莫名其妙：“這有什麽好疑惑的？”
拉馬努金說：“來到國外後，我發現這裏的人全都保持矜持或者冷漠，到了令人惱怒的地步，常常拒人於千裏之外，我們每個印度學生都難以接受。”
“或許是文化不同導致，英國人要保持自己所謂的紳士風度。當然，不排除有一些是高高在上的民族偏見，”李諭說，然後問了一個心中疑惑已久的問題，“哈代先生說，你的公式都是夢中女神告訴你的，那是個怎樣的女神？”
拉馬努金說：“是我的信仰，娜瑪吉利女神。”
李諭壓根沒聽過這個女神的名字，對婆羅門教或者說印度教的理解，就是梵天、濕婆和毗濕奴這三位主神。
最多加一個傳說中孫悟空的原型——印度猴神哈奴曼。（也不知道這個說法可不可靠，不少自媒體這麽說過。畢竟大聖不缺流量。）
李諭問道：“這位娜瑪吉利女神是？”
拉馬努金說：“她是那羅希摩的配偶，那羅希摩也叫獅神，是毗濕奴的化身之一。”
總算提到一個自己聽過的神。
李諭說：“感覺與中國的道教很像，都有好多神仙。”
拉馬努金語出驚人：“對於我來說，所有的宗教或多或少都一樣是真的，不管基督教還是佛教。”
李諭非常錯愕，更加無法理解印度的宗教觀。
拉馬努金又問道：“院士先生也有信仰嘛？”
李諭搖搖頭：“我是無神論者。”
拉馬努金說：“太可惜了，如果你也有信仰，說不定會獲得神的指示。”
李諭笑道：“可能我已經不需要了。”
拉馬努金說：“娜瑪吉利女神給予了我無窮幫助，本來按照教義，我不能離開印度，但女神托夢告訴我可以離開，所以我才登上了前往倫敦的輪船。”
李諭沒敢多問，這時候印度人確實不能隨便離開印度國土，除非有某種理由。
甘地就是因為離開印度，被開除了種姓。
但婆羅門本身就是神職人員，可以解釋宗教，所以……
李諭笑道：“上天安排的最大，女神也要你來倫敦。”
拉馬努金說：“但我的家人朋友並不同意，嶽父就問過我，為什麽不能在印度學數學。我和他解釋了半天，他始終無法理解。我朋友也認為這是把本屬於印度的光榮偷送給英國大學的一種卑鄙手腕。而我的母親則擔心我適應不了英國的天氣，擔心這邊沒有好的印度食品，還害怕英國人的歧視，甚至擔心我被英國女孩子纏住，不再迴國。”
李諭看過《生活大爆炸》，知道印度人的婚戀觀非常傳統，在矽穀混得風生水起的人，也得迴國結婚，而且必須報上種姓，如果是低種姓，哪怕你在矽穀再牛，也得蹲著。
在拉馬努金離開印度之前，有些英國婦女來見這位即將去劍橋的神秘天才，和他握了手，就使他的母親大為生氣。
李諭攤攤手：“既然來了，就先搞好你想做的唄。”
拉馬努金說：“我就是這樣想的，院士先生的事跡非常令我振奮。”
李諭笑道：“彼此彼此。”
拉馬努金幾口吃完了飯，說：“是的，我們去找哈代先生，今天要討論一個關鍵的議題。”
李諭又問道：“真的隻吃這麽點？”
拉馬努金說：“母親的擔心不無道理，英國的食材太缺少了。”
拉馬努金對食物很挑剔。
和平年代還好，半年後一戰爆發，英國物資供應出現短缺，麵包都要限量供應，哪去找更多蔬菜。
拉馬努金那時正好是科研攻堅期，吃飯很隨意，休息更隨意，這種狀態最容易生病。
關鍵拉馬努金在醫院裏也不聽話，老抱怨這裏疼那裏痛，甚至有些任性，不相信醫藥。
許多倫敦的醫生都說：“極少有醫生願意把拉馬努金帶到自己的醫務所，沒人能受得了他的脾氣。”
總之是各種因素導致了他的生病。
後世要是秉承素食主義其實影響不大，但二十世紀初這種醫學剛剛起步的時代，素食還是有些風險的。
拉馬努金的早逝很可能就是免疫力下降，染上了肺結核。
之前提到過，全球三分之一的人口感染有肺結核，但人體的免疫力讓90%的人不會發病，但一旦免疫力大幅下降，就有危險。
一些微量元素素食難以提供或者提供的數量很少，比如維生素d。或許就是它的缺少導致拉馬努金感染上肺結核。
可惜維生素的作用還要幾年後才能被慢慢證實。
另外，英國和印度的生活相比，至少還缺少一樣東西——陽光。
陽光可以幫助人體合成維生素d。但英國的天氣，能曬太陽的機會太少，加上他常年在屋中搞研究，日積月累，身體早晚垮掉。
路上時，拉馬努金又好奇問道：“院士先生同樣來自東方，離開了故土，你不會想念家鄉嗎？”
李諭說：“事實上，我經常迴國。”
“太羨慕了！”拉馬努金說，“才離開印度幾個月，我已非常想念家鄉。那裏的街道上處處是牛車，彩繪的牛角上鈴聲叮當，男人裸著上身，包著圍腰布，女人穿著莎麗，鼻環和手鐲在黝黑的皮膚上閃亮。”
聽拉馬努金的敘述，他好像生活在鄉村。
這位天才在英國的幾年生活相當孤獨，朋友極少，隻能與數學為伴。
李諭說：“我能理解你的心情。”
兩人走進哈代的辦公室，他正在一張小黑板上寫寫畫畫，見拉馬努金來了，於是說：
“我已經想好，如果你想讓整個英國數學界知道你的名字，可以選擇整數分拆這個課題。旁邊辦公室專門做組合數學的麥克馬洪教授已經為此花了十幾年，還沒有摸出頭緒，但你的公式卻有完美的近似效果。我們花上一段時間，給出更專業的數學證明，他絕對會驚掉下巴。”
拉馬努金說：“要是能發表論文，我一定配合先生的工作。”
哈代抽了口煙鬥說：“我知道你有很多東西想發表，但我們必須一點點來，做出取舍。整數分拆這種難度極大的成果做出來後，我說不定還可以幫你申請到研究員的職位，那樣我們的時間就更多了。”
拉馬努金說：“我明白了，謝謝哈代教授。”
兩人搞的整數分拆屬於數論領域，非常好理解，小學生都可以看懂。
所謂整數分拆，就是把一個正整數表示成幾種不同的加法組合。
比如數字3，有3，1+1+1，1+2三種組合方式。
數字4，有1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2，4，一共五種拆分方式。
然後假設有一個函數p（n），表示的就是某個數字n一共有多少種拆分方式。
顯然，
p（3）=3
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拉馬努金和哈代要搞的，就是找到這個整數分拆函數p（n）表達式。
聽起來是不是感覺和費馬大定理、哥德巴赫猜想一樣簡單好理解？
但想要得到函數p（n），就相當難了。
因為這個函數的發散速度非常恐怖，別看前幾項很小，人畜無害，到了p（50），就達到了204226。
而p（100），大概是2億！
明顯的指數增長。
最早研究整數分拆的是數學真神歐拉，但他沒能搞定。
拉馬努金不知道咋就寫出了一個p（n）近似公式，關鍵這玩意在n越大的時候，就越準，很難說是隨便湊出來的。
李特爾伍德把一大堆材料放在桌子上：“這是麥克馬洪教授的推算結果，我們可以慢慢進行驗證。”
然後他又對拉馬努金說：“我真的很想知道你是如何得到這個詭異結果的，但我知道你肯定會說是女神的指示，就像法國的聖女貞德說，‘我把自己鎖在小閣樓裏一天一夜，上帝告訴我，我要成為天國的將軍，率領法國軍隊趕走英國人’。”
哈代道：“這就是神秘的東方力量。”
“確實太神秘了，”李特爾伍德說，“按照通常的數學邏輯，一旦我們事先知道結果，可以花費時間慢慢找到函數的正確形式。但關鍵是，拉馬努金怎麽知道一定會有一個正確形式？甚至給出了一個很不錯的公式！如果以理論洞察力來解釋，其能力之高實難相信！因為對於整數分拆函數來說，沒有什麽數值結果能向他暗示如此強有力的結論。我隻能說是神來之筆。”
哈代哈哈大笑：“我已經放棄思考這個問題了！不如繼續驗證下去。”
整數分拆函數的發散非常快，而麥克馬洪教授此前已經通過歐拉的早期工作，硬生生手工算出了前200個p（n）值。
毅力也是夠強的。
拉馬努金和哈代首先要做的就是驗證拉馬努金給出的公式的準確程度，正好把麥克馬洪的數據拿來用。
結果相當振奮人心，近似程度很好。
可憐的麥克馬洪，簡直被降維打擊。
打個比方，之前他是通過1000001個29相加來計算29+29+29+…，得到了結果29000029。
現在拉馬努金和哈代直接乘法去計算29x1000001。
不過具體的過程肯定比較複雜，用到了大量近代數學成果。
數論這東西有些人覺得很枯燥，但喜歡的人是真喜歡，愛到骨子裏。